債券凸性（Convexity）描述債券價格跟殖利率之間那條線彎的程度。存續期間是用一條直線去估「殖利率動一個百分點，價格動幾 %」，可是實際的價格線是彎的，凸性就是補上彎曲的部分。一般債券的凸性是正的：殖利率下跌時，實際漲得比直線估的多，殖利率上升時，實際跌得比直線估的少。年期越長、票面利率越低，凸性越大。可以被發行人提前買回的債券，凸性可能是負的。
下面直接回答這幾題
債券凸性是什麼？
債券的價格跟殖利率是反方向走的，殖利率上升，手上那張舊債券的利息相對變少，價格就要跌，反過來也一樣。殖利率動一點，價格動多少？最常用的答案是存續期間：修正存續期間 15 的債券，殖利率升一個百分點，價格大約跌 15%。
「大約」兩個字藏著一個前提：它把價格和殖利率的關係當成一條直線。實際畫出來，那是一條往右下走、越走越平的曲線：
虛線是存續期間的估法，在殖利率 5% 那一點跟曲線貼在一起，離開那一點越遠，兩條線分得越開。而且不管往哪一邊走，曲線都在直線上面：殖利率下跌時，實際價格比直線估的高，等於多漲了，殖利率上升時，實際價格也比直線估的高，等於少跌了。凸性量的就是這條線彎得多厲害。
開車的人可以這樣想：存續期間像現在的時速，凸性像車速一路在變的程度，只開一小段，用現在的時速估開多遠就很準，開得久了，車速的變化累積起來，就不能再拿一個固定時速去乘。
存續期間會估錯多少？
拿一張面額 100、票面利率 5%、殖利率也是 5% 的債券（價格剛好 100），算殖利率上下各動一、兩個百分點時，價格實際漲跌多少，再跟存續期間的直線估算比：
| 殖利率變動 | 30 年期 精算漲跌 |
30 年期 直線估算 |
10 年期 精算漲跌 |
10 年期 直線估算 |
|---|---|---|---|---|
| 降 2 個百分點 | +39.2% | +30.7% | +17.1% | +15.4% |
| 降 1 個百分點 | +17.3% | +15.4% | +8.1% | +7.7% |
| 升 1 個百分點 | -13.8% | -15.4% | -7.4% | -7.7% |
| 升 2 個百分點 | -24.8% | -30.7% | -14.0% | -15.4% |
直線估算永遠是對稱的，30 年期那張升降兩個百分點都是 30.7%。精算的結果卻是降 2 個百分點漲 39.2%、升 2 個百分點只跌 24.8%，同樣的幅度，漲的比跌的多了 14.4 個百分點：
10 年期那張也有同樣的現象，只是小很多，殖利率動一個百分點時，直線和精算只差零點幾個百分點。所以短天期債券、小幅變動時，存續期間單獨用就夠了，期限長、變動大的時候才一定要把凸性算進來。
凸性怎麼算？估算式和計算機
凸性本身的定義公式要把每一期現金流都折現再加權，一般投資人不用自己推。要會用的是這一條估算式：
價格變動 % ≈ －存續期間 × 殖利率變動 ＋ ½ × 凸性 × 殖利率變動²
殖利率變動要寫成小數，1 個百分點就是 0.01。前半段是存續期間的直線，後半段是凸性補上的彎曲，因為有平方，只要凸性是正的，不管殖利率是升是降，這一項都是加分。
用上面那張 30 年期債券算一次，它的修正存續期間約 15.4、凸性約 350。殖利率升一個百分點：直線部分是 －15.4 × 0.01，約 -15.4%，凸性部分是 ½ × 350 × 0.01²，約＋1.8%，合起來約 -13.6%，跟精算的 -13.8% 只差 0.2 個百分點。
債券凸性計算機：殖利率動了，價格會漲跌多少
什麼債券的凸性比較大？
三個條件讓凸性變大：年期越長、票面利率越低、殖利率本身越低。年期和票面利率的影響最明顯：
2 年期債券的凸性只有 5，30 年期是 350，換成同樣 30 年、完全不付利息的零息債券，凸性是 844。零息債券的錢全部壓在最後一天才拿回來，所以對利率最敏感，存續期間和凸性都最大。
殖利率高低也有影響。同一張 30 年期、票面 5% 的債券，殖利率 7% 時凸性是 277，殖利率 3% 時變成 434。利率越低的環境，長天期債券的價格對利率越敏感，上下震盪也越不對稱。
BOS 試算：2022 年的 30 年期公債
2022 年美國快速升息，美國財政部公布的 30 年期公債殖利率，從 2021 年底的 1.90% 升到 2022 年底的 3.97%，一年升了 2.07 個百分點。假設年初用平價買進一張 30 年期、票面利率 1.90% 的債券，它的修正存續期間是 22.7：
只用存續期間估，價格會跌 47.0%，精算是跌 35.9%，直線多估了 11.1 個百分點的跌幅。加上凸性之後估出跌 33.5%，誤差縮到 2.4 個百分點。長天期債券碰到兩個百分點以上的變動，光靠存續期間會把損失講得太大。
凸性沒有讓這張債券躲過一劫。跌三成多仍然是很重的一年，把一整年領到的利息和離到期近一年都算進去，這一年的總報酬還是 -33.4%（光看價格是跌 35.3%）。凸性讓跌幅比直線估的少一些，改變不了長天期債券在升息年會重傷這件事。2022 年債券市場整體怎麼了，在存續期間那篇有完整的說明。
負凸性是什麼？
上面講的都是一般債券，凸性是正的。有些債券剛好相反，殖利率下跌時價格漲不太上去，叫做負凸性。
為什麼會這樣？最常見的例子是可提前贖回債券（Callable Bond）。發行公司保留一個權利：利率掉下來的時候，可以照事先約定的價格把債券買回來，再用比較低的利率重新借錢。對債券持有人來說，利率越低，被買回的機會越大，價格就被卡在贖回價附近：
房貸抵押證券也有同樣的性質。利率下跌時，屋主會提前還款、轉貸到更低的利率，持有這些證券的人拿回本金，只能用比較低的利率再投資。利率上升時，屋主不提前還了，存續期間反而拉長，跌得更多。漲的時候漲不多、跌的時候跌不少，跟一般債券剛好反過來。抵押型 REITs 手上滿滿是這類資產，看它們的股價波動時，這是背後的原因之一。
凸性對一般投資人有什麼用？
估算大幅升降息的情境時，把凸性算進去。想知道「如果長天期殖利率再升兩個百分點，我的長債 ETF 會跌多少」，直接拿存續期間乘 2 會高估跌幅，也會低估降息時的漲幅。債券 ETF 的產品頁都查得到存續期間，凸性不一定有列，長天期公債 ETF 可以拿產品頁的平均票面利率、平均年期和到期殖利率，用上面的計算機粗估。這樣算出的凸性通常偏低，因為 ETF 持有一籃子不同年期的債券，而如果 ETF 裡有房貸抵押證券，就不適用。
知道長天期債券的波動是不對稱的。殖利率上下動一樣多，長債漲的比跌的多，這是正凸性的好處。可是長債本來就是對利率最敏感的債券，凸性帶來的不對稱是真的，但抵銷不了長債本身的大起大落。
買到負凸性的東西要知道。可提前贖回的公司債、房貸抵押證券、持有它們的基金與 REITs，利率下跌時的好處比一般債券少。它們的殖利率通常比條件相同、但不能提前贖回的債券高，多出來的部分就是在補償這件事。
想先弄清楚債券報價上那幾個利率各是什麼意思，可以看票面利率、殖利率、YTM 差在哪。
常見問題
債券凸性是什麼？
債券凸性（Convexity）描述債券價格和殖利率之間那條曲線彎曲的程度。存續期間用直線估算殖利率變動對價格的影響，凸性補上彎曲的部分。一般債券的凸性是正的，殖利率下跌時實際漲得比直線估的多，殖利率上升時實際跌得比直線估的少。
凸性和存續期間有什麼不同？
存續期間是第一層估算，告訴你殖利率動一個百分點，價格大約動幾 %，它假設兩者是直線關係。凸性是第二層，修正直線和實際曲線之間的落差。殖利率變動小、年期短的時候只看存續期間就夠，變動大、年期長的時候要兩個一起看。
凸性怎麼算？
實務上用這條估算式：價格變動 % ≈ －存續期間 × 殖利率變動 ＋ ½ × 凸性 × 殖利率變動²，殖利率變動寫成小數（1 個百分點＝0.01）。存續期間在債券 ETF 的產品頁查得到，凸性不一定有列，可以用凸性計算機輸入票面利率、年期、殖利率算出來。
凸性越大越好嗎？
只看凸性的話，越大代表殖利率上下動一樣多時，漲的比跌的多。但凸性大的債券通常年期長，存續期間也大，價格波動本來就劇烈。凸性只是讓波動比較不對稱，不會讓長天期債券變得安全。而且凸性不是白送的，其他條件相同時，凸性大的債券殖利率通常比較低。
什麼是負凸性？
負凸性是殖利率下跌時價格漲不太上去，常見於可提前贖回債券與房貸抵押證券。利率下跌時，發行公司會提前買回債券、屋主會提前還房貸，持有人拿回本金，享受不到價格上漲。
殖利率只動一點點，還需要看凸性嗎？
通常不需要。以票面利率 5% 的 10 年期債券為例，殖利率升一個百分點，存續期間估算跌 7.7%，精算跌 7.4%，只差零點幾個百分點。變動到兩個百分點以上，或是 20、30 年期的長債，差距才會大到需要修正。
投資與教學資歷都超過二十年。教學橫跨三個階段：從兒童理財教育起步，到成人的價值投資，再到近年的量化交易。曾創立三間公司，並以價值投資建立起財務上的獨立與自信，也擔任過台積電的理財培訓師，是價值投資的國際級講師。他始終相信，理財是為了把生活過得更好，而看懂財報、獨立思考，遠比追逐明牌或現成的答案更重要。
延伸閱讀
降息債券就會漲？先看存續期間
